蜘蛛的幾何學

      當我們觀察着園蛛，尤其是絲光蛛和條紋蛛的網時，我們會發現它的網并不是雜亂無章的，那些輻排得很均勻，每對相鄰的輻所交成的角都是相等的；雖然輻的數目對不同的蜘蛛而言是各不相同的，可這個規律适用于各種蜘蛛。   
      我們已經知道，蜘蛛織網的方式很特别，它把網分成若幹等份，同一類蜘蛛所分的份數是相同的。當它安置輻的時候，我們隻見它向各個方向亂跳，似乎毫無規則，但是這種無規則的工作的結果是造成一個規則而美麗的網，像教堂中的玫瑰窗一般。即使他用了圓規、尺子之類的工具。沒有一個設計家能畫出一個比這更規範的網來。   
      我們可以看到，在同一個扇形裡，所有的弦，也就是那構成螺旋形線圈的橫輻，都是互相平行的，并且越靠近中心，這種弦之間的距離就越遠。每一根弦和支持它的兩根輻交成四個角，一邊的兩個是鈍角，另一邊的兩個是銳角。而同一扇形中的弦和輻所交成的鈍角和銳角正好各自相等──因為這些弦都是平行的。   
      不但如此，憑我們的觀察，這些相等的銳角和鈍角，又和别的扇形中的銳角和鈍角分别相等，所以，總的看來，這螺旋形的線圈包括一組組的橫檔以及一組組和輻交成相等的角。   
      這種特性使我們想到數學家們所稱的“對數螺線”。這種曲線在科學領域是很著名的。對數螺線是一根無止盡的螺線，它永遠向着極繞，越繞越靠近極，但又永遠不能到達極。即使用最精密的儀器，我們也看不到一根完全的對數螺線。這種圖形隻存在科學家的假想中，可令人驚訝的是小小的蜘蛛也知道這線，它就是依照這種曲線的法則來繞它網上的螺線的，而且做得很精确。   
      這螺旋線還有一個特點。如果你用一根有彈性的線繞成一個對數螺線的圖形，再把這根線放開來，然後拉緊放開的那部分，那麼線的運動的一端就會劃成一個和原來的對數螺線完全相似的螺線，隻是變換了一下位置。這個定理是一位名叫傑克斯·勃諾利的數學教授發現的，他死後，後人把這條定理刻在他的墓碑上，算是他一生中最為光榮的事迹之一。   
      那麼，難道有着這些特性的對數螺線隻是幾何學家的一個夢想嗎？這真的僅僅是一個夢、一個謎嗎？那麼它究竟有什麼用呢？   
      它确實廣泛的巧合，總之它是普遍存在的，有許多動物的建築都采取這一結構。有一種蝸牛的殼就是依照對數螺線構造的。世界上第一隻蝸牛知道了對數螺線，然後用它來造殼，一直到現在，殼的樣子還沒變過。   
      在殼類的化石中，這種螺線的例子還有很多。現在，在南海，我們還可以找到一種太古時代的生物的後代，那就是鹦鹉螺。它們還是很堅貞地守着祖傳的老法則，它們的殼和世界初始時它們的老祖宗的殼完全一樣。也就是說，它們的殼仍然是依照對數螺線設計的。并沒有因時間的流逝而改變，就是在我們的死水池裡，也有一種螺，它也有一個螺線殼，普通的蝸牛殼也是屬于這一構造。   
      可是這些動物是從哪裡學到這種高深的數學知識的呢？又是怎樣把這些知識應用于實際的呢？有這樣一種說法，說蝸牛是從蠕蟲進化來的。某一天，蠕蟲被太陽曬得舒服極了，無意識地揪住自己的尾巴玩弄起來，便把它絞成螺旋形取樂。突然它發現這樣很舒服，于是常常這麼做。久而久之便成了螺旋形的了，做螺旋形的殼的計劃，就是從這時候産生的。   
      但是蜘蛛呢？它從哪裡得到這個概念呢？因為它和蠕蟲沒有什麼關系。然而它卻很熟悉對數螺線，而且能夠簡單地運用到它的網中。蝸牛的殼要造好幾年，所以它能做得很精緻，但蛛網差不多隻用一個小時就造成了，所以它隻能做出這種曲線的一個輪廊，盡管不精确，但這确實是算得上一個螺旋曲線。是什麼東西在指引着它呢？除了天生的技巧外，什麼都沒有。天生的技巧能使動物控制自己的工作，正像植物的花瓣和小蕊的排列法，它們天生就是這樣的。沒有人教它們怎麼做，而事實上，它們也隻能作這麼一種，蜘蛛自己不知不覺地在練習高等幾何學，靠着它生來就有的本領很自然地工作着。   
      我們抛出一個石子，讓它落到地上，這石子在空間的路線是一種特殊的曲線。樹上的枯葉被風吹下來落到地上，所經過的路程也是這種形狀的曲線。科學家稱這種曲線為抛物線。   
      幾何學家對這曲線作了進一步的研究，他們假想這曲線在一根無限長的直線上滾動，那麼它的焦點将要劃出怎樣一道軌迹呢？答案是：垂曲線。這要用一個很複雜的代數式來表示。如果要用數字來表示的話，這個數字的值約等于這樣一串數字1＋1/1＋1/12＋1/123＋1/1234＋……的和。   
      幾何學家不喜歡用這麼一長串數字來表示，所以就用“e”來代表這個數。e是一個無限不循環小數，數學中常常用到它。   
      這種線是不是一種理論上的假想呢？并不，你到處可以看到垂曲線的圖形：當一根彈性線的兩端固定，而中間松馳的時候，它就形成了一條垂曲線；當船的帆被風吹着的時候，就會彎曲成垂曲線的圖形；這些尋常的圖形中都包含着“e”的秘密。一根無足輕重的線，竟包含着這麼多深奧的科學！我們暫且别驚訝。一根一端固定的線的搖擺，一滴露水從草葉上落下來，一陣微風在水面拂起微波，這些看上去稀松平常、極為平凡的事，如果從數學的角度去研究的話，就變得非常複雜了。   
      我們人類的數學測量方法是聰明的。但我們對發明這些方法的人，不必過分地佩服。因為和那些小動物的工作比起來，這些繁重的公式和理論顯得又慢又
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